Análise de Circuitos Elétricos

Aula 01 - Revisão Conceitual, Elementos de Circuitoss, Lei de Ohm e Potência Elétrica

Prof. M.Sc. Diego Ascânio Santos (ascanio@cefetmg.br)

Aula baseada sobre o material do professor Dr. Emerson Gonçalves de Melo (emerdemelo@usp.br - DEMAR EEL USP)

Divinópolis, 2023.

Essa aula segue o segundo princípio do Zen do Python.

Aula 01 - Roteiro
  1. Revisão Conceitual
  2. Elementos de Circuitoss
  3. Lei de Ohm
  4. Potência Elétrica
  5. Referências Bibliográficas

Revisão Conceitual

Revisão Conceitual - Carga Elétrica
  • Carga elétrica: propriedade fundamental das partículas (quarks e elétrons) que compõem a matéria (átomos);

Átomo

  • Quando existe diferença entre átomos e elétrons em um corpo, dizemos que este corpo está carregado (ou eletrizado).
  • Se não existe diferença, este corpo então encontra-se neutro.
  • Unidade de medida da carga elétrica: Coulomb
  • Carga elétrica elementar: a carga elétrica (em Coulomb) composta por um elemento de carga.
    • Carga de um elétron:
    • Carga de um próton:
  • A carga elétrica em qualquer corpo é calculada pela fórmula:
    • º
    • 1C (Coulomb) equivale à carga de elétrons
Revisão Conceitual - Lei de Coulomb
  • Lei de Coulomb
    • Formulada por Charles-Augustin de Coulomb.
    • Descreve a Força eletrostática entre duas cargas elétricas e .
    • é uma força de atração se , possuem sinais opostos.
    • De repulsão, se , possuem sinais iguais.

Equação

Revisão Conceitual - Campo Elétrico
  • Aplicar lei de Coulomb para estudar interação entre múltiplas cargas é difícil.

  • Entender a influência que uma carga elétrica exerce sobre outras de seu entorno é mais fácil!

  • O campo elétrico descreve esta influência.

  • Definido pela força elétrica que uma carga positiva de prova sofreria sob a influência da carga original, da forma:

    • , onde representa (em coulombs) a carga de prova.

Qual o campo elétrico exercido pela carga sobre a carga ?

Exemplo de Cálculo de Campo Elétrico

Duas cargas pontuais de 5 nC e -2 nC estão localizadas, respectivamente, nas coordenadas cartesianas (2, 0, 4) e (-3, 0, 5). Calcule o vetor campo elétrico e a intensidade da força elétrica exercida sobre uma carga de 1 nC localizada em (1, -3, 7).

Revisão Conceitual - Trabalho da Força Elétrica
  • O trabalho realizado pela força elétrica ao transportar uma carga em equilíbrio e sob ação de uma outra carga , de uma posição inicial à uma posição final é:

  1. O trabalho independe do caminho percorrido pela carga;
  2. Se
  3. A força elétrica é conservativa, portanto, existe uma energia potencial elétrica associada à ela.
  4. Essa energia potencial elétrica é simétrica (oposta) ao trabalho:

Assim:

Elementos de Circuitos - Tensão

A diferença de potencial elétrico ou Tensão é a quantidade de energia potencial elétrica por unidade de carga necessária para transportar uma carga elétrica de um ponto para um ponto ;

A presença de Tensão sinaliza que um sistema possui a habilidade de transportar cargas elétricas, ou seja, tem a capacidade de manter um fluxo de corrente elétrica.

Unidade de medida:

Elementos de Circuitos - Simbologia de Fontes de Tensão

fontes-independentes

fontes-dependentes

Elementos de Circuitos - Corrente Elétrica
  • A corrente elétrica é o fluxo (transporte) de cargas elétricas através de um condutor.
  • Criada quando existe uma diferença de potencial (tensão) entre dois pontos de um condutor, pois, a tensão, como vimos, representa a energia potencial elétrica necessária --- --- para TRANSPORTAR uma quantidade de cargas .
    • Por ser causado pela aplicação de uma força elétrica para mover uma carga de uma posição de origem até uma posição final , logo, essa força elétrica atrai cargas de sinais opostos e repele cargas de sinais iguais.
      • Assim, em uma fonte de tensão conectada a um condutor (e um elemento de carga) ocorre um deslocamento ordenado de elétrons do pólo negativo que contém excesso de elétrons --- cargas negativas com o mesmo sinal, que se repelem entre si --- para o pólo positivo que apresenta falta de elétrons, e portanto, uma maior concentração de prótons (sinais positivos) que atrai os elétrons (cargas negativas) oriundos do pólo negativo para si.

: Fluxo
: Por ser ordenado, é que se chama corrente, como uma corrente! Como algo em cadeia!

Elementos de Circuitoss - Corrente Elétrica

  • O fluxo de cargas (corrente) só ocorre por que os átomos dos materiais condutores dispõem de muitos elétrons livres - elétrons que tem ligação fraca com o núcleo atômico - que têm tendência para serem doados para outros átomos, então, a passagem de um fluxo de cargas estimula estes elétrons, que movimentam-se para as bandas de outros átomos, também estimulando outros elétrons, criando um processo em cadeia.

    • Este processo em cadeia organiza o fluxo de elétrons (isso é semelhante a uma fila de dominós).

  • Pela corrente elétrica ser o fluxo de cargas elétricas através de um condutor, é possível calculá-la por meio de duas formas:

    • Pela razão da variação da carga sobre a variação do tempo em um condutor:
    • Pela integração da densidade de cargas multiplicada pelo diferencial da velocidade de deslocamento destas cargas em relação à superfície (normalmente a secção reta) de um condutor:
    • Por medir razão de carga sobre tempo, a unidade de corrente é , também conhecida como Ampére .
Transferência de Elétrons Livres Entre Átomos
Elementos de Circuitos - Exemplos e Diagramas de Fontes de Correntes
Elementos de Circuitos - Cálculo da Corrente Elétrica pela Integral de Superfície de Um Condutor
  • A integral de superfície é uma generalização das INTEGRAIS MÚLTIPLAS sobre uma superfície.
  • A força sobre um elétron é:

  • Um elétron em um condutor submetido a um campo elétrico passa a se deslocar em uma direção, pela força elétrica presente em .
  • Esse deslocamento provocado por provê ao elétron uma velocidade de deslocamento.
  • Por se movimentarem com velocidade , elétrons livres em um condutor colidem entre si.
  • O intervalo de tempo em que ocorrem duas colisões sucessivas entre elétrons em um condutor é conhecido como tempo de relaxação .
  • Por meio deste intervalo de tempo é possível calcular a aceleração dos elétrons:

Elementos de Circuitos - Cálculo da Corrente Elétrica pela Integral de Superfície de Um Condutor
  • O elétron dispõe de uma massa e de aceleração . Pela Segunda Lei de Newton:

  • Ocorre que a força elétrica em um elétron é definida como . Assim,

  • A diferença de potencial em um condutor linear de comprimento é dado por: . Assim, . Por isso:

  • representa a quantidade (densidade) de carga por volume de um sólido (unidade: ). É definido por:

éóééé

No próximo slide veremos o desenvolvimento final do cálculo da corrente pela integral de superfície sobre a da seção reta do condutor.

Elementos de Circuitos - Cálculo da Corrente Elétrica pela Integral de Superfície de Um Condutor

Como a integral de superfície da seção reta do condutor é a própria área da seção reta do condutor, logo:

J também é conhecido como densidade de corrente elétrica, tendo por unidade ou

Condutor Linear com Sua Área \(A\) de Seção Reta Perpendicular a si.
Elementos de Circuitos - Cálculo da Corrente Elétrica
  • Verificamos assim, duas formas de se calcular corrente elétrica:
    1. Corrente elétrica em função da razão da variação da carga pela variação do tempo:

    1. Corrente elétrica pela integral de superfície da densidade de corrente em relação a superfície do condutor:

    éáçã

Porque desenvolvemos a integral da segunda forma? Considerando sua dificuldade e a suficiência do primeiro método para calcular corrente?

Elementos de Circuitos - Constantes de Condutividade e Resistividade Elétrica

  • Porque pelo desenvolvimento da integral, ao avaliar as grandezas envolvidas da densidade de cargas e da velocidade de deslocamento delas, extraimos valores constantes comuns ( - carga elementar do elétron; - massa do elétron) e específicos (para cada elemento — - tempo de relaxação, densidade de elétrons) que perimitem computar a condutividade elétrica (a facilidade encontrada pelos elétrons para se moverem através do condutor) e a resistividade elétrica (a dificuldade que os elétrons apresentam para se movimentar — inversa à condutividade).

  • Esta constante de condutividade — representada pelo símbolo — está presente na densidade de corrente valendo .

Elementos de Circuitos - Constantes de Condutividade e Resistividade Elétrica
  • Constante de condutividade elétrica
    • Representada pelo símbolo

  • Constante de resistividade elétrica
    • Representada pelo símbolo

  • Por fim, à partir destas constantes é possível deduzir a resistência elétrica como (2ª lei de Ohm) como veremos no próximo slide.
Elementos de Circuitos - Dedução da Resistência Elétrica

Considerando que , a seção reta de um condutor linear e :

Aplicando manipulações algébricas:

Como , logo:

Pela lei de Ohm, . Logo:

Elementos de Circuitos - Definição da Resistência Elétrica

A Resistência Elétrica é a propriedade caracterizada pela oposição ao fluxo de cargas elétricas através do material;

Pela segunda lei de Ohm:

Unidade de medida da Resistência: (Ohm)

Material () Característica
Prata Condutor
Cobre Condutor
Alumínio Condutor
Ouro Condutor
Germânio Semicondutor
Silício Semicondutor
Papel Isolante
Mica Isolante
Vidro Isolante
Elementos de Circuitos - Condutância Elétrica
  • Condutância elétrica : inverso da resistência elétrica.

Unidade de medida: Siemens ( ou Mho)

Elementos de Circuitos - Exemplos e Diagramas de Resistores
  • Resistor: elemento que existe para adicionar resistência elétrica em um circuito elétrico;

Elementos de Circuitos - Considerações sobre a constante de Resistividade

é dependente da temperatura. Quanto maior a temperatura do resistor, maior sua resistividade e cresce linearmente.

Quando , logo,

Assim:

- resistividade na temperatura ()
- resistividade na temperatura ()
- coeficiente de temperatura ()
- temperatura de referência ( ou )
- temperatura de operação
- resistência na temperatura ()
- resistência na temperatura ()

Coeficientes de temperatura de alguns materiais

Material
Prata 0,0038
Cobre 0,0039
Alumínio 0,0043
Ouro 0,0034

Apresentados os conceitos básicos sobre Tensão, Resistência e Corrente, é apresentada a lei de Ohm, uma sistematização simplificada das relações (já apresentadas) entre estas três grandezas.

Lei de Ohm

  • Da definição de é obtida a lei de Ohm

Parâmetros distribuídos:

Parâmetros concentrados:

Lei de Ohm:

Lei de Ohm
  • Estabelece a relação entre , e
Lei de Ohm
  • Estabelece a relação entre , e
Potência Elétrica
  • Potência Elétrica (P): Trabalho (W) por unidade de tempo (t)
    • Unidade de medida: Watt (W) (J/s)

Exercícios (Entregar em 15/08/2023)
  1. O decaimento da carga em um circuito elétrico é definido por: . Determine o valor da corrente elétrica nos instantes:
  2. A corrente em um circuito elétrico é dada pela equação . Qual a carga que flui através do circuito durante 250 ms?
  3. Um fio de cobre possui 1 mm de diâmetro e 900 m de comprimento. Sua resistividade e coeficiente de temperatura à 20℃ são de e 0.00393 , respectivamente. Calcule sua resistência () à 60°C.
  4. Calcule a corrente e a potência elétrica dissipada por um resistor de submetido a uma diferença de potencial de ?
  5. Qual a corrente que circula por um aquecedor elétrico de quando ligado em ?
Referências Bibliográficas
  • J. W. Nilsson, e S. A. Riedel, “Electric Circuits”, 9 ed., New York, Prentice Hall (2011).
  • W. H. Hyat, J. E. Kemmerly, e S. M Durbin, “Análise de Circuitos em Engenharia”, 7 ed., São Paulo, McGraw-Hill (2008).
  • C. K. Alexander, e M. N. O. Sadiku, “Fundamentos de Circuitos Elétricos”, 5 ed., Porto Alegre, AMGH (2013).

Pois, está presente em todos os átomos

No átomo temos prótons (compostos por dois quarks up (2 * 2/3 carga) e um down (-1/3 carga) que equivale a uma carga positiva)

Elétrons que possuem uma carga negativa (e o átomo no seu estado fundamental é neutro, nº protons = nº eletrons)

E por fim, neutrons, que possuem carga neutra (ao terem dois quarks down (-2/3 de carga) e um quark up (2/3 carga) = 0 carga)

Essa propriedade é a base das forças eletromagnéticas e é a causa de fenômenos como eletricidade e magnetismo. Uma das suas características mais importantes é que cargas de sinais iguais se repelem e de sinais diferentes se atraem.

Um elemento de carga: dois quarks up e um down (a carga do próton) ou a carga de um elétron

Onde n é a diferença de elétrons e prótons de um corpo e $e$ é a carga elétrica elementar

Se um átomo perde elétrons, logo, nº protons > nº elétrons, portanto, sua carga fica positiva

Quando um átomo ganha elétrons, logo, nº protons < nº elétrons, portanto, sua carga fica negativa

a força entre duas cargas é diretamente proporcional ao produto das magnitudes das cargas

a força entre duas cargas é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas

F_12 equação

r_12 chapéu é o vetor unitário da distância entre as cargas, que aponta a direção

Na existência de grandes quantidades de cargas, aplicar a lei de Coulomb para estudar a interação entre elas torna-se matematicamente difícil.

Assim, é melhor entender a influência que uma carga elétrica exerce sobre outras de seu entorno.

Que uma carga exerce sobre demais cargas próximas

O polo negativo de uma fonte está negativamente carregado, portanto, contém excesso de elétrons. O positivo, está positivamente carregado, portanto, faltam elétrons. Quando ligamos os polos da fonte em série a um elemento de carga (exemplo, a lampada) os elétrons em excesso do polo negativo se deslocam em direção ao positivo através do circuito, passando pela lâmpada e gerando calor (na lampada incadescente) ao ponto do calor gerado ser tão alto que a lâmpada passa a emitir fótons - Luz

Simbologia da fonte variável: v minusculo e circulo (+/-)

Simbologia da fonte fixa: V maiúsculo, linhas horizontais paralelas, maior linha: polo positivo, menor linha: polo negativo

Simbologia da fonte dependente (ou controlada) losango (+/-). A fonte é controlada porque um elemento externo controla a tensão que ela é capaz de disponibilizar, como por exemplo, um amplificador operacional (a ser visto na sessão de quadripolos)

- O fluxo de elétrons do polo negativo até o positivo da fonte excita os átomos presentes no filamento da lâmpada. - Estes átomos absorvem uma parcela da energia presente neste fluxo e se tornam excitados, com os elétrons mais próximos do núcleo efetuando saltos de camada$^{3}$ para regiões mais afastadas do núcleo. - O afastamento dura $ms$ e o elétron retorna a sua camada de origem. - Ao retornar para a camada de origem, precisa gastar a energia que recebeu, liberando esta energia por meio da emissão de luz (através de fótons) $^{3}$: ver camadas de linus pauling.

- Corrente Elétrica: é a razão do fluxo (deslocamento) de cargas elétricas através de um condutor (um fio) pelo tempo em que essa condução acontece. - Ocorre quando existe diferença de potencial (tensão) entre a origem e o fim do fio. Unidade de medida: $A$ (Ampére) ${} = {C \over s}$ - Elétrons livres em um condutor promovem a Corrente de Condução ao serem impulsionados por um campo elétrico ($E$), pois, se existe um campo elétrico, logo, uma força elétrica irá atuar sobre os elétrons livres de um condutor. - O cobre é um bom condutor por ter muitos elétrons livres. - A condução da corrente elétrica em um condutor ocorre de forma ordenada. - Como sabemos, um campo elétrico pode ser calculado por: $\vec{E} = {\vec{F} \over Q}$ onde $Q$ representa uma carga de prova qualquer.

Sempre temos que considerar os três eixos do espaço, mas a integral de superfície simplifica nossa vida, generalizando uma integral tripla (por exemplo) em uma integral simples

considerando que E = V / l

J também é conhecido como densidade de corrente unidade: A/m^2